8. Нелинейные электрические цепи

Элементы линейных электрических цепей описываются их статическими характеристиками . Резистор характеристикой (вольтамперная характеристика), катушка индуктивности характеристикой (вебер-амперная, характеристика), конденсатор характеристикой (кулон-вольтная характеристика). Величина называется статическим параметром (сопротивление, индуктивность, емкость). Нелинейные элементы характеризуются также дифференциальными параметрами или, так как . У линейных элементов дифференциальный параметр равен статическому и статическая характеристика линейного элемента — это прямая, проходящая через начало координат. Параметры линейных элементов постоянны и не зависят от величины воздействия, а параметры нелинейных элементов зависят.

На рис.1.79 показаны условные обозначения нелинейных элементов сопротивления, индуктивности и емкости.

Рис. 1.79. Условные графические обозначения нелинейных элементов

Для резистора:

Для катушки индуктивности:

Для конденсатора:

В произвольной точке статической характеристики нелинейного элемента значение статического параметра равно тангенсу угла наклона секущей, проведенной из начала координат в эту точку, а значение дифференциального параметра в той же точке равно тангенсу угла наклона касательной к характеристике.

На рис. 1.80 приведена, в качестве примера, вольтамперная характеристика нелинейного резистора. На ней , а

Рис. 1.80. Вольтамперная характеристика нелинейного резистора.

Так как к нелинейным цепям не применим принцип суперпозиции и нельзя использовать метод наложения, анализ этих цепей осуществляется графоаналитическими методами, либо аналитическими, основанными на аппроксимации характеристик нелинейных элементов, например, кусочно-линейной или полиномиальной функциями.

В электрической цепи постоянного тока, содержащей нелинейный резистор , величину тока , протекающего через него, можно найти с помощью метода эквивалентного генератора напряжения. Уравнение Кирхгофа для цепи с эквивалентным генератором напряжения имеет вид: (рис. 1.81, а). Это уравнение прямой линии, которую называют нагрузочной прямой. Точка пересечения этой линии с вольтамперной характеристикой нелинейного элемента (рис. 1.81, б) определяет величину тока в цепи.

а) б)

Рис. 1.81. а) электрическая цепь с нелинейным сопротивлением нагрузки; б) определение

силы тока в цепи графическим методом

Так определяются все величины ( ), характеризующие режим цепи. Для типовых соединений нелинейных резисторов, как и для линейных, можно выполнять эквивалентные преобразования, складывая их вольтамперные характеристики (рис. 1.82).

а)

б)

Рис. 1.82. Преобразование типовых соединений нелинейных резисторов:

а) параллельного, б) последовательного

При гармоническом воздействии (где U — амплитуда напряжения) на резистор с нелинейной вольтамперной характеристикой, выходной ток будет иметь вид, показанный на рис. 1.83. Эта периодическая функция раскладывается в ряд Фурье

, где: — постоянная составляющая тока в резисторе; — амплитуда гармоники с частотой ; — начальная фаза n-й гармоники.

Рис. 1.83. Гармоническое воздействие на нелинейный резистор

Такие преобразования применяются, в частности, в выпрямителях переменного напряжения и детекторах радиоприемных устройств.

Характеристики нелинейных реактивных элементов неоднозначны.

Для нелинейных элементов индуктивности они определяются свойствами материалов сердечников (магнитопроводов), на которых размещаются катушки индуктивности.

Магнитное поле в каждой точке пространства характеризуется напряженностью Н(А/м). Вещества, которые оказывают влияние на магнитное поле называют магнетиками. Круговые движения электронов в их атомах и молекулах создают элементарные магнитные поля, векторы напряженности которых при отсутствии внешнего магнитного поля расположены хаотично и средняя напряженность собственного магнитного поля магнетика , при этом, равна нулю. Внешнее магнитное воздействие ориентирует микроскопические токи в магнетиках и, векторы напряженности их магнитных полей.

По отношению к воздействию магнитного поля материалы делятся на диамагнетики, ослабляющие магнитное поле, парамагнетики, в которых магнитное поле усиливается и ферромагнетики, в которых оно усиливается многократно , где — относительная магнитная проницаемость вещества, — его абсолютная диэлектрическая проницаемость, а — диэлектрическая проницаемость вакуума. Благодаря своей способности усиливать магнитные поля, ферромагнетики широко применяются в электротехнике и электронике.

В международной системе единиц СИ для характеристики магнитного поля в магнетике используют величину . Этот вектор называется магнитной индукцией (измеряется в Тесла — Тл). Векторы напряженности магнитного поля и магнитной индукции, с точки зрения геометрии, представляют собой касательные к силовым линиям магнитного поля. Число силовых линий магнитной индукции, пронизывающих перпендикулярную к ним площадку S называется магнитным потоком через эту площадку. (измеряется в Веберах — Вб)

Магнитные свойства материалов характеризуются кривой намагничивания, представляющей собой зависимость магнитной индукции от напряженности магнитного поля . У ферромагнетиков эта зависимость не линейна. Если материал размагничен, то с увеличением напряженности магнитного поля индукция изменяется по кривой первоначального намагничивания. На рисунке 1.84 — это кривая 0 → а.

Рис. 1.84. Кривая намагничивания (петля гистерезиса)

При повторном циклическом изменении напряженности магнитного поля в заданных максимальных пределах от до изменение индукции происходит по замкнутой кривой, называемой кривой гистерезиса, которая имеет вид симметричного цикла. Пути изменения индукции при увеличении и уменьшении напряженности магнитного поля показаны на рисунке 1.84 стрелками.

Материалы с широкой петлей гистерезиса называют магнитотвердыми и применяют в постоянных магнитах, так как они имеют большую остаточную индукцию. Материалы с узкой петлей называют магнитомягкими и используют в магнитных цепях с переменными магнитными потоками, например, в трансформаторах.

Если построить несколько петель гистерезиса для разных значений при медленном перемагничивании, то их вершины будут располагаться на кривой начального намагничивания, которую также называют основной кривой намагничивания ферромагнитного материала (ОКН). Эта нелинейная характеристика используется для расчета магнитных цепей при постоянных потоках.

Величина индукции при называется остаточной индукцией, а напряженность магнитного поля — коэрцетивной силой. — это напряженность магнитного поля, которая нужна для того, чтобы довести индукцию намагниченного материала до нуля.

Статический параметр среды, который характеризует ее магнитные свойства называется статической магнитной проницаемостью . Дифференциальная магнитная проницаемость (крутизна характеристики намагничивания) .

Для катушки индуктивности индукция в сердечнике пропорциональна магнитному потоку, так как потокосцепление , где: — количество витков катушки индуктивности; Ф — поток магнитной индукции в сердечнике с площадью поперечного сечения S. Согласно закону полного тока, циркуляция вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром: Следовательно , где: — ток в катушке индуктивности — средняя длина магнитной силовой линии в ферромагнитном сердечнике. Учитывая пропорциональность магнитной индукции магнитному потоку и напряженности магнитного поля току, можно от характеристики перейти к вебер-амперной характеристике , или . При этом параметр — статическая индуктивность, пропорциональна статической магнитной проницаемости, а дифференциальная индуктивность — дифференциальной магнитной проницаемости.

Обобщенная эквивалентная электрическая схема катушки индуктивности с ферромагнитным сердечником приведена на рис. 1.85. На ней: — активное сопротивление провода катушки; — сопротивление, учитывающее расход энергии на перемагничивание сердечника (потери на гистерезис); — сопротивление, учитывающее потери энергии на вихревые токи, возникающие в толще сердечника при воздействии переменного магнитного поля.

Рис. 1.85. Эквивалентная схема нелинейной индуктивности

Все эти сопротивления превращают электрическую энергию в тепло. Сопротивления и уменьшают путем рационального выбора материалов проводника и сердечника. Для уменьшения потерь в сопротивлении сердечники катушек переменного тока изготавливают из тонких листов магнитного железа, изолированных друг от друга. На высоких частотах используются ферритовые сердечники, из частиц ферромагнитного порошка, связанных диэлектриком. Ферриты имеют магнитную проницаемость равную 10 — 10000 и высокое удельное сопротивление порядка 10² — 10⁸ Ом/см, за что их называют магнитодиэлектриками.

Нелинейные магнитные элементы широко применяются в электротехнике и электронике.

Они входят в состав многих устройств измерения гидрометеорологических величин в качестве чувствительных элементов преобразователей угловых и линейных перемещений и электропроводности среды.

Расчет устройств, в которых используются нелинейные индуктивности, производится методами теории магнитных цепей, основы которой рассматриваются в следующем разделе пособия.

В нелинейных конденсаторах используются диэлектрики с нелинейными свойствами. Свойства диэлектрика характеризуются зависимостью между электрической индукцией (смещением) (К/м²) и напряженностью электрического поля Е (В/м). Параметр называется статической относительной диэлектрической проницаемостью. Дифференциальная диэлектрическая проницаемость . Впервые нелинейность характеристики была обнаружена у сегнетовой соли, поэтому в дальнейшем все материалы, обладающие такими свойствами, стали называть сегнетоэлектриками.

Поведение сегнетоэлектриков в электрических цепях аналогично поведению ферромагнетиков в магнитных цепях. Зависимости также имеют вид петель гистерезиса (рис. 1.86).

Рис. 1.86. Кривая электризации (заряда нелинейного конденсатора)

Электрический поток через диэлектрик плоского конденсатора

, где — абсолютная диэлектрическая проницаемость вещества, — диэлектрическая проницаемость вакуума. Ф/м., q — заряд конденсатора. Напряжение между обкладками конденсатора . Заряд конденсатора пропорционален смещению, а напряжение на нем напряженности электрического поля и, следовательно, можно характеристику заменить кулон-вольтной характеристикой , имеющей такой же вид. При этом статический параметр — емкость конденсатора , а дифференциальный — . Характеристика имеет сложный вид и при анализе используют ее полиномиальную аппроксимацию. Разность между энергией запасаемой при заряде нелинейного конденсатора и отдаваемой при его разряде представляет собой энергию потерь на диэлектрический гистерезис. Эти потери характеризуются углом диэлектрических потерь , на который разность фаз межу током и напряжением на конденсаторе отличается от . Эквивалентная схема нелинейного конденсатора приведена на рис.1.87. Потери учитывает сопротивление .

Рис. 1.87. Эквивалентная схема нелинейного конденсатора

Нелинейные конденсаторы применяются в диэлектрических параметрических усилителях, электроакустисеских преобразователях, измерительных преобразователях влажности, и других устройствах электротехники и электроники.